``` \date{} \begin{document} \begin{multicols}{3} \subparagraph{created by wth}\label{header-c7} \subparagraph{cause}\label{header-c7} Truncation：计算量有关 Round-off：bit数相关 \subparagraph{不动点法}\label{header-c23} 收敛的充分条件：{[}a,b{]}内所有x满足\textbar{}g'(x)\textbar{} \textless{} k, (0 \textless{} k \textless{} 1) 收敛速度: \( |p_{n+1} - p_n| <= k * |p_n - p_{n-1}|\) , k越小越快 \subparagraph{牛顿法}\label{header-c30} 用泰勒展开的前两项作为函数近似，求该近似函数的零点，在零点处再求函数近似，迭代。 \(p \approx p_0 - \frac{f(p_0)}{f'(p_0)}\) 牛顿法的k在p点处是0，所以收敛非常快 \subparagraph{迭代法误差分析}\label{header-c38} \(lim \frac{p_{n+1} - p}{|p_n - p|^a} = \lambda\) pn收敛于p, a越大，收敛速度越快 a = 1, linearly convergent a = 2, quadratically convergent \( g'(p) \neq 0\) 则最少是 linear convergent，拉格朗日中值定理可退 \( g'(p) = 0\) 时（如牛顿法） g不等于0的最高阶导数阶数a 牛顿法是二阶收敛的 \subparagraph{quadratica newtom method}\label{header-c54} 有重根（几重根都可以）的时候令 \( \mu(x) = \frac{f(x)}{f'(x)} \) 然后再做牛顿法 \( g(x) = x - \frac{\mu(x)}{\mu'(x)} \) \subparagraph{Aitken's Method (Steffensen's Method)}\label{header-c61} 原理 \(p_{n+2} = p_n - \frac{( \Delta p_n )^2}{ \Delta ^ 2 p_n }\) \( p_1 = g(p_0),\ p2=g(p_1)\) \(p=p_0-\frac{(p_1-p_0)^2}{(p_2-2*p_1+p_0)}\) \(p_0=p\) ```