`flowfram` 可以做，但是稍微有点麻烦，以下是这种样式的实现雏形，可以深度定制 ``` \documentclass[UTF8]{ctexbook}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \usepackage[a4paper,margin=2cm,bottom=3cm]{geometry} \usepackage{tikz} \usepackage{flowfram} \newflowframe{0.48\textwidth} {0.95\textheight} {0pt} {0.05\textheight}[mainleft] \newflowframe{0.48\textwidth} {0.95\textheight} {0.52\textwidth} {0.05\textheight}[mainright] % 以下内容建议放入一个多带带的文件，框的样式可以用 tikz 画 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newstaticframe[1]{\textwidth}{2cm}{0pt}{-2cm}[page1] \setstaticframe*{page1}{backcolor=magenta!60} \setstaticcontents*{page1}{\LARGE 你想要什么样的内容？？} \newstaticframe[2]{\textwidth}{2cm}{0pt}{-2cm}[page2] \setstaticframe*{page2}{backcolor=blue!50} \setstaticcontents*{page2}{\LARGE 我想要一个彩框啊！！} \newstaticframe[3]{\textwidth}{2cm}{0pt}{-2cm}[page3] \setstaticframe*{page3}{backcolor=brown!60} \setstaticcontents*{page3}{\LARGE 而且还必须每一页都不一样！！} \newstaticframe[4]{\textwidth}{2cm}{0pt}{-2cm}[page4] \setstaticframe*{page4}{backcolor=gray!60} \setstaticcontents*{page4}{\LARGE 那好吧，做好了！！不知是否满意？样式可以深度定制的，这是这种样式的雏形} % 以上内容建议放在一个多带带的文件中 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{document}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 第十六章﹕三体问题及趣闻 话说回来，在19世纪初，狭义相对论和量子力学掀起物理学革命的那几年，爱因斯坦正年富力强，精力充沛，而庞加莱却是疾病缠身，心力交瘁。庞加莱又肩负着数学领袖的重任，数学中有太多太多的由他提出、而又尚未证明的猜想和定理，占据了他的大部分时间和精力。想必他也无暇去顾及思考更多有关狭义相对论的问题了。 的确，作为一个数学家，庞加莱一生所系、不断思考、至死念念不忘的，还是数学问题，是由他始开先河的微分方程定性理论研究和代数拓扑学。因此，让我们在本章中，还回到当年的三体问题，以及庞加莱为解决三体问题而发展的数学。 国王奥斯卡二世用以悬赏N体问题的奖金数额不算很多，但全世界的数学家们仍然趋之若鹜，为什么呢？因为能够获此奖项将是一个莫大的荣誉，再则，所悬赏的N体问题本来就是数学上一个极为重要、有待解答的问题。 二体问题早在牛顿时代已被完满解决，三体问题却至今仍然悬而未决，一直是人们关注的焦点。1878年，美国数学家希尔(1838—1914)发表文章【1】，论证月球近地点运动具有周期性。希尔的工作引起庞加莱对三体问题发生了极大的兴趣。庞加莱本来就一直在研究这个问题，因此，国王的悬赏对他而言，只是正中下怀，来得正是时候。这送上门来的名利双收机会，何乐而不为呢？ 根据牛顿的万有引力定律，学过高中物理的学生都不难列出三体问题的运动方程，它是含有九个方程的微分方程组。但是，求解这个方程则是难上加难，并不存在一般条件下的精确解。庞加莱首先采取了希尔的办法，将此问题简化成了所谓‘限制性三体问题’。 限制性三体问题是三体问题的特殊情况。当所讨论的三个天体中﹐有一个天体的质量与其他两个天体的质量相比﹐小到可以忽略时﹐这样的三体问题称为限制性三体问题。首先，我们把小天体的质量m看成无限小﹐就可以不考虑它对两个大天体的作用。这样，两个大天体便按照开普勒定律，绕着它们的质量中心作稳定的椭圆运动（不考虑抛物线和双曲线的情形）。然后，我们再来考虑小天体的质量m有限时，在两个大天体m1和m2的重力场中的运动。也就是说，我们将小天体对大天体的作用忽略不计，只考虑大天体对小天体的吸引力。如此一简化，原来的九个微分方程组变成了只有三个变量的微分方程组。 例如，当初的希尔就是用更简化了的‘平面圆型限制性三体问题’，来研究月球的运动。他略去了太阳轨道偏心率﹑太阳视差和月球轨道倾角﹐得到了月球中间轨道的周期解。如今，航天科学家们常用限制性三体问题，研究在月球、地球引力的作用下，人造卫星、火箭及各种飞行器的运动规律。 即使简化成了三个微分方程，只有三个变量，也仍然无法求出精确解啊。庞加莱意识到，要解决问题必须想出新的办法，总不能在一棵树上吊死。既然无法求出精确解，就放弃寻找精确解的努力好啦！于是，庞加莱开始定性地研究解的性质。也就是说，从三个微分方程出发，用几何的方法，从整体上设法了解可能存在的各种天体轨道的性质和形态。这样，庞加莱为微分方程定性理论的研究铺平了道路。 图（16.1）限制性三体问题 如图（16.1）所示，庞加莱企图定性地研究包括小尘埃和两个大星球的‘限制性三体问题’。这种情形下，两个大星球的二体问题可以精确求解，大星球1和2相对作椭圆运动。庞加莱需要定性描述的只是小尘埃在大星球1和大星球2的重力吸引下的运动轨迹。 庞加莱运用渐近展开与积分不变性的方法，定性研究小尘埃的轨道。他深入研究小尘埃在所谓‘同宿轨道’和‘异宿轨道’（相当于奇点）附近的行为，但一直没有得到令他满意的结果，最后不得不在1888年五月，比赛截至之前提交了他的论文。国王悬赏的评审团成员是当时三位鼎鼎有名的数学家：法国数学家Charles Hermite（Hermitian矩阵以他命名），德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯及他的学生：瑞典数学家米塔-列夫勒。尽管庞加莱并没有完全满足奥斯卡二世悬赏的要求，没有解决N体问题，但他的160页的文章仍然令评审团的三位数学巨匠兴奋无比。他们认为庞加莱对三体问题的研究取得了重大突破，太阳系的相对稳定得到确认。维尔斯特拉斯在给米塔-列夫勒的信中写道：“请告诉您的国王，这个工作不能真正视为对所求的问题的完善解答，但是它的重要性使得它的出版将标志着天体力学的一个新时代的诞生。因此，陛下预期的公开竞赛的目的，可以认为已经达到了。” 于是，国王高兴地把奥斯卡奖—2500瑞典克朗和一枚金质奖章，授予了庞加莱。 在1889年冬天，评审团准备将庞加莱的论文在数学杂志上发表。文章已经印好，而且送到了当时最有名的一些数学家那里。就在这时，负责校对的一位年轻数学家发现文章中有一些地方的证明不够清楚，建议庞加莱增加一段解释作为补充材料。于是，庞加莱开始重新深入研究这一部分。 庞加莱越是深入研究小尘埃的轨道在奇点附近的性质形态，发现的问题就越多。情况有些类似八十多年后MIT的气象学家洛伦茨面对的困境。当然，他不如洛伦茨幸运, 能在计算机的屏幕上显示奇异吸引子的曲线。但是，庞加莱却以他惊人的思维和想象能力, 在自己的头脑里构造出了‘限制性三体问题’的某些奇特解的雏形。从解的奇怪行为中, 庞加莱看到了当今人们所说的‘混沌现象’。不过, 局限于他当时的经典世界观, 他还未能完全理解得到的结果, 只能迷惑而感叹地说了一句：“无法画出来的图形的复杂性令我震惊!”（见图（16.1）右图） 既然解的图形复杂得无法画出来，庞加莱意识到，在原来的论文中，不仅仅是像那个年轻人所说的那种“证明不太清楚”的小问题，而是包含着一个‘错误’。于是，他赶快通知米塔-列夫勒，收回已经印出的杂志予以销毁。同时，庞加莱大刀阔斧地修改和赶写论文。一直到第二年，1890年的十月，庞加莱的长达270页论文的新版本才重新问世。 庞加莱坚持自己支付了印刷第一版费用：3585 克郎，这个数目大大超过了一年之前他得到的奖金。作为题外话，还有一件遗憾之事：几年前有报道说，有人从庞加莱的孙子家里，偷走了当初庞加莱赢得的那枚金质奖章。所以，对这次悬赏活动，庞加莱是倒赔了1000多克郎，金质奖章也不翼而飞。当然，对数学大师而言，区区金钱算什么呢？庞加莱庆幸对论文作了这个重要的修正。并且，正是这个‘错误’，使得庞加莱对方程的解的状况重新研究和思考，改正了他的一个稳定性定理，最终导致了他对同宿交错网的发现。 庞加莱发现，即使对简化了的‘限制性三体问题’，在同宿轨道或者异宿轨道附近，解的形态会非常复杂，以至于对于给定的初始条件，几乎是没有办法预测当时间趋于无穷时，这个轨道的最终命运。而这种对于轨道的长时间行为的不确定性，这也就是我们现在称之为混沌的现象。（图16.2） 第十七章﹕混沌游戏 “我想，庞加莱本质上是保守的。而且，他的数学眼光又大大超越了他的物理眼光和哲学眼光……” 李四很赞同王二的说法。对呀，你们看，他在狭义相对论的表现和他在看到混沌现象时的表现，都是出于同样的在哲学上和物理上的保守观念。其实，当初他已经发现了对初始条件极为敏感的混沌现象。但有人认为，庞加莱并没有把他对同宿交错网，也就是对混沌现象的全部想法，完全写进他的著作。他最后提交的有关三体问题论文，有长长的270多页，而且后来，他还就此问题，发表了三大卷《天体力学的新方法》，对天体力学做出了重要的贡献。而对同宿交错网及混沌，却只是在他的书的第三卷第397节中简单提了一下，只是为了说明：N体问题的解的复杂性，超出了人们的想象能力。 张三说：“唉，在那个时代，也难为他了……十九世纪末期，人们对自然界的基本理解是决定论的。” 的确，这种混沌的想法完全不符合当时知识界的乐观情绪。那时的人们津津乐道的是，给定现在的状态，人类有能力预测未来的一切！ 谈到这个话题，张三又想起了他们曾经讨论过的决定论，上次李四不是说过吗？根据量子力学，初始条件是无法精确确定的，这个观点的确很有道理。张三说，尽管我不懂量子力学，但我也听过量子力学中的不确定原理……。其实，不确定原理并不难理解嘛。在工程中，也有两个物理量不可能同时被精确测量的情况。比如说：时间和频率。这是因为，所谓频率，指的是 ‘一段时间’内的振动次数。如果你把这‘一段时间’精确到一个理想的时间点的话，频率当然就失去意义了，就像对一个时间点，速度的定义失去其意义一样。不过，我对‘混沌现象’、‘决定’、还是‘非决定’这些概念，仍然有所疑问： “虽然叫做混沌，看起来杂乱无章、一片混乱，虽然貌似随机，但是，我总觉得这种混沌现象与真正的‘随机过程’，还是风马牛不相及，它们毕竟是确定的微分方程的解啊！另外，洛伦茨方程产生的混沌，与三体问题中的混沌，还是不同的吧？因为它们是与不同的微分方程有关嘛。所以，我们这儿讨论的‘混沌’，有一些，怎么说呢……好像仍然包含着‘决定’的成分……” 王二很快领悟到了这其中的奥妙：“难怪啊！我总看见书上把它们叫做‘决定性的混沌（deterministic chaos）’，看来这就是原因了！” 不过，王二不同意张三所说的：混沌现象与真正的随机过程‘风马牛不相及’这个观点，王二提到了最近他在一本书上看到的‘混沌游戏’。 李四也说，我们所说的‘混沌现象’，的确并不完全等同于‘随机’。但是和随机过程有关系，它是随机过程和决定规律的结合。洛伦茨方程产生的混沌，显然不同于三体问题产生的混沌，因为它们有不同形态的奇异吸引子，分别作为它们各自的标签！这些奇异吸引子对应于不同的分形，分形有决定的一面，也有其随机的一面。正如王二所说，从本章介绍的‘混沌游戏’，我们将看到：分形可以从随机过程产生出来！ 总结我们迄今为止所介绍过的分形，大概有如下三类： 1. 科赫曲线、谢尔宾斯基三角形、分形龙等，可以从线性迭代过程产生； 2. 曼德勃罗集、朱利亚集，从非线性复数迭代过程产生； 3. 奇异吸引子，由洛伦茨方程或三体运动方程等非线性微分方程组产生。 前面几章中，曾经介绍用迭代的方法构成分形。而随机过程如何产生分形呢？我们以谢尔宾斯基三角形为例。 图（17.1）：用混沌游戏方法生成谢尔宾斯基三角形 在初始图形上，画上红、绿、蓝三个顶点，以及随意选择的起始点z0，再准备一个能随机产生‘红、绿、蓝’之一的随机发生器。这很简单，比如说，我们可以将标有1-6的骰子重新贴标签：第1、4面贴‘红’，2、5面贴‘绿’，3、6面贴‘蓝’，这样，这个骰子就能让我们达到随机选择红绿蓝的目的了。然后，我们就可以开始混沌游戏。 图（17.1）所示，从z0开始，利用随机选出的颜色点（这时是绿），取z0到绿点的中点，作为下一个点z1，然后，又利用再次随机选出的颜色点（这时是蓝），取z1到蓝点的中点，作为z2，……以此往复地做下去，得到z3、z4、z5、z6…… 张三有点不耐烦了：“你这些乱七八糟的点，看不出什么名堂啊……” 王二叫他别急，统计现象嘛，一定要足够多的实验点才能见效果的。果然如此，从图（17.2）可见，如果用大量随机的点作上面的混沌游戏，最后构成了谢尔宾斯基三角形。 图（17.2）：生成谢尔宾斯基三角形的混沌游戏，不同实验点数的不同结果 张三看看图（17.2），又回头再去看图（17.1），心中琢磨：像这样，每次随机选择一个顶点，取中点作为下一点，一直做下去，怎么就产生出谢尔宾斯基三角形来了呢？想着想着，脑中突然灵光一闪，似乎觉得不难理解了。因为他想起：在用迭代法产生谢尔宾斯基三角形的时候，每次迭代的过程，都是将原来图形的尺寸缩小到二分之一，变成三个小图形，放在三个顶点附近而成的。这迭代时的‘尺寸缩小一半’，肯定就和这儿混沌游戏中的‘取中点’关联起来了！不过嘛，图形迭代时，我们看到的是同时产生了三个小三角形，像是平行运算。在混沌游戏中，所有分形的点却是一点接一点，串行而随机地加到图上去的。嘿，这就是为什么叫做‘混沌游戏’嘛，有意思！看起来混沌，本质上却和迭代的效果是一样的！ 张三想通了混沌游戏产生谢尔宾斯基三角形的奥秘，心中得意，刚想解释给朋友们听听，没料到王二已经早他几天看过有关‘混沌游戏’的书，比他理解得还更深一层，提出了一个他没想过的新问题。王二问李四： “用混沌游戏产生谢尔宾斯基三角形比较简单。像你说的：随机选择顶点，再找中点就可以了。但是，一般分形的情况怎么办呢？还有那些由非线性方法产生的分形呢？也能用混沌游戏产生出来吗？” 李四认为，原则上应该是可以的，虽然他没有做过。数学家们的特点，不就总是从一个特殊的例子，抽象成一个一般的数学问题，再研究出一般的解决方法吗？ 产生分形所用的迭代方法，可以抽象成一组收缩变换函数，数学家们将此称为迭代函数系统（IFS，Iterated Function System）。任何分形，只要找到了对应的IFS，就能用迭代法（或者是混沌游戏的方法）产生出来，非线性的情况也一样。比如说，下面公式即为谢尔宾斯基三角形的IFS： f1(z) = z/2, f2(z) = z/2 + 1/2, f3(z) = z/2 + ( 3 + I)/2 王二点点头，张三也觉得更明白了：啊，原来是用迭代函数系统将它们联系起来。谢尔宾斯基三角形的IFS中这么多的（1/2），不就是我刚才想到的‘尺寸缩小一半’和‘取中点’此类操作的数学表达吗？只听王二又说： “你刚才总结过有三类不同的分形，前面两种分形（简单的、和曼德勃罗集等）都显而易见地，可从迭代过程产生。那种奇异吸引子的分形不是微分方程的解吗？那怎么从迭代过程产生啊？” 张三高兴了，终于找到了表现的机会，赶快抢答。因为这个问题他再清楚不过了，他在画洛伦茨吸引子等图的时候，就是从初始时间t0时的初值开始，用迭代法产生出下一个时间t1时的值，以及再下面的t2、t3….等等时刻的数值。这样做的原因是因为找不到微分方程的精确解，因而只能用迭代法得到数值解。 王二恍然大悟：啊，原来如此！ \end{document}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% ``` 效果如下：