你的代码有点乱来……
```tex
\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[UTF8]{ctex}
\usepackage{NotesTeX,lipsum}
\usepackage{ifthen,ifxetex}
\ifxetex
\geometry{
hoffset=0in,
voffset=0in,
layouthoffset=-1in,
layoutvoffset=0.5in,
}
\fi
\title{\begin{center}{
\Huge \textit{Quantum Chemistry Notes}
}\\
{
{\itshape Szabo's }
}
\end{center}
}
\author{
Cunxi Gong\footnote{\href{hermit10032@163.com}{\textit{My Personal email}}}
}
\affiliation{
COC, Zhengzhou University\\
Institute of Theoretical Chemistry\\
}
\emailAdd{11111}
\begin{document}
\flushbottom
\maketitle
\newpage
\pagestyle{fancynotes}
\part{Mathithical Review}
\section{Linear Algebra}\label{sec:linear algebra}
\subsection{Three-Dimensional Vector Algebra}\label{subsec:3d vector algebra}
\begin{equation}
a = \vec{e}_1 a_1+ \vec{e}_2 a_2+ \vec{e}_3 a_3=\sum_i^n \vec{e}_i a_i \label{1.1.1}
\end{equation}
这里是一个三维空间的向量表示,它是完备的,基向量称为basis,任何三维空间的向量都可以用这个basis集合来表示,但是我们知道这个空间里面可以有很多的basis表示方法,也就是说,basis not unique!
一般来说,可以把一个向量投射到基向量上称为component,也就是说可以用一个列向量来表示一个向量!
\[\mathbf{a}=
\left(\begin{array}{r}
a_1\\
a_2\\
a_3
\end{array}\right)\textit{in the basis}\{\vec{e}_i\}
\]
The scalaror dot product can be:
\[\vec{a} \cdot \vec{b}=\sum_i \sum_j \vec{e}_i \cdot \vec{e}_j a_ib_j
\]
对于 basis vector, 可以用 Kronecker delta symbol $\delta$ or
或者说 Dirac delta function 来表示。一般说这个有两个值,0, 1。i=j时,为1,其他为0.
\[ \vec{e}_i \cdot \vec{e}_j = \delta_{ij}
\]
对于这样的basis就叫作正交归一化,orthonormality
有了它之后\[\vec{e}_j
\cdot\vec{a}=\sum_i\vec{e}_j\cdot\vec{e}_ia_i=\sum_i\delta_{ij}a_i=a_j
\]
同样,可以重写\ref{1.1.1}为\[
\vec{a}=\sum_i
\vec{e}_i\cdot\vec{e}_i\cdot=\overleftrightarrow{1}\cdot\vec{e}_j
\]
在这里$\overleftrightarrow{1}$是并矢张量,unit dyadic。同时也
有 identity operator。
\[\hat{1}=\sum_i|a_i><a_i|
\]
\begin{definition} Operactor${L}$ 作用在一个向量上,把一个向量转化成另一个向量。
\[L\vec{a}=\vec{b}
\]
这里算符可以说是线性(Linear)
所以可以说
\[\hat{L}(x\vec{a}+y\vec{b})=x\hat{L}\vec{a}+y\hat{L}\vec{b}\]
由于向量可以用basis表示且算符可以转化向量为新向量所以,可以写作
\[\hat{L}\vec{e}_i=\sum_{j=1}^3\vec{e}_j\mathbf O_{oj} \\
\mathbf{O_{ij}}=\left(
\begin{array}{rrr}
\mathbf O_{11}& \mathbf O_{21}&\mathbf O_{31}\\
\mathbf O_{21}& \mathbf O_{22}&\mathbf O_{32}\\
\mathbf O_{31}& \mathbf O_{32}&\mathbf O_{33}
\end{array}
\right)\]
我们说 \( \mathbf O \) 就是算符 \( \hat{L} \) 的矩阵表示
\end{definition}
如果 \( \mathbf{A} \) 和 \( \mathbf{B} \) 是算符 \( \hat{A} \) 和 \( \hat{B} \) 的矩阵表示,且 \( \hat{L}=\hat{A}\hat{B} \) 那么我们可以这么写:
\begin{align}\hat{L}\vec{e}_j&=\sum_i\vec{e}_iC_{ij}\\
&=\hat{A}\hat{B}\vec{e}_j\\
&=\hat{A}\sum_k\vec{e}_k\mathbf B_{kj}\\
&=\sum_{ik}\vec{e}_i\mathbf A_{ik}\mathbf B_{kj}
\end{align}
\mn{我大概理解这几个式子,
算符作用向量$\vec{a}$生成向量$\vec{b}$,向量可以用基向量完备线性表出。
我理解张量是映射,或者说基向量转换。基向量转换需要列向量。$\mathbf C_{ij}$就是向量转置需要的矩阵。
现在一个算子是两个算子的乘积。$\mathbf A\quad \mathbf B\quad \vec e_{jj}$,算子从右到左作用,会有两个映射用矩阵相乘,它等同于单个算子的矩阵。
那么两个算子乘积的映射就可以用两个映射用矩阵乘积来表示
}
so that
\[\mathbf C_{ij}=\sum_k\mathbf A_{ik}\mathbf B_{kj}\]
所以说算符的乘积就是其所代表的矩阵的乘积
算符的作用顺序是至关重要的!
一般来说 \( \hat{A}\hat{B}\ne\hat{B}\hat{A} \), or \( AB\ne BA \)
\begin{definition}
\begin{align}
commutator,\text{交换子}\\
[\hat{A},\hat{B}]&=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}\\
[\mathbf A,\mathbf B]&=\mathbf A\mathbf B-\mathbf B\mathbf A\\
anticommutator,\text{反交换子}\\
\{\hat{A},\hat{B}\}&=\hat{A}\hat{B}+\hat{B}\hat{A}
\{\mathbf A,\mathbf B\}&=\mathbf A\mathbf B+\mathbf B\mathbf A
\end{align}
\end{definition}
\subsection{Matrix}\label{subsec:matrix}
不需要废话,直接开始。\\
一般都是复元素的矩阵!\( M \) 个 \( \{a_i\} \) 的集合,\( \mathbf M \) 一般写作列,column matrix!
\[\mathbf a=\left(
\begin{array}{rrr}
&\mathbf a_1\\
&\mathbf a_2\\
&\vdots\\
&\mathbf a_M
\end{array}\right)
\]
记 \( \mathbf{A} \) 是一个 \( N \times N \) 的矩阵
\end{document}
```