你的代码有点乱来…… ```tex \documentclass[12pt]{article} \usepackage[UTF8]{ctex} \usepackage{NotesTeX,lipsum} \usepackage{ifthen,ifxetex} \ifxetex \geometry{ hoffset=0in, voffset=0in, layouthoffset=-1in, layoutvoffset=0.5in, } \fi \title{\begin{center}{ \Huge \textit{Quantum Chemistry Notes} }\\ { {\itshape Szabo's } } \end{center} } \author{ Cunxi Gong\footnote{\href{hermit10032@163.com}{\textit{My Personal email}}} } \affiliation{ COC, Zhengzhou University\\ Institute of Theoretical Chemistry\\ } \emailAdd{11111} \begin{document} \flushbottom \maketitle \newpage \pagestyle{fancynotes} \part{Mathithical Review} \section{Linear Algebra}\label{sec:linear algebra} \subsection{Three-Dimensional Vector Algebra}\label{subsec:3d vector algebra} \begin{equation} a = \vec{e}_1 a_1+ \vec{e}_2 a_2+ \vec{e}_3 a_3=\sum_i^n \vec{e}_i a_i \label{1.1.1} \end{equation} 这里是一个三维空间的向量表示，它是完备的，基向量称为basis，任何三维空间的向量都可以用这个basis集合来表示，但是我们知道这个空间里面可以有很多的basis表示方法，也就是说，basis not unique！ 一般来说，可以把一个向量投射到基向量上称为component，也就是说可以用一个列向量来表示一个向量！ \[\mathbf{a}= \left(\begin{array}{r} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{array}\right)\textit{in the basis}\{\vec{e}_i\} \] The scalaror dot product can be: \[\vec{a} \cdot \vec{b}=\sum_i \sum_j \vec{e}_i \cdot \vec{e}_j a_ib_j \] 对于 basis vector, 可以用 Kronecker delta symbol $\delta$ or 或者说 Dirac delta function 来表示。一般说这个有两个值，0, 1。i=j时，为1，其他为0. \[ \vec{e}_i \cdot \vec{e}_j = \delta_{ij} \] 对于这样的basis就叫作正交归一化，orthonormality 有了它之后\[\vec{e}_j \cdot\vec{a}=\sum_i\vec{e}_j\cdot\vec{e}_ia_i=\sum_i\delta_{ij}a_i=a_j \] 同样，可以重写\ref{1.1.1}为\[ \vec{a}=\sum_i \vec{e}_i\cdot\vec{e}_i\cdot=\overleftrightarrow{1}\cdot\vec{e}_j \] 在这里$\overleftrightarrow{1}$是并矢张量，unit dyadic。同时也 有 identity operator。 \[\hat{1}=\sum_i|a_i>